\(\)Considere um ponto que se desloca num movimento circular uniforme \( \vec{\mathbf{r}} (t)= 2 \vec{\mathbf{e}} _x \cos (0.60 t+1.11)+2 \vec{\mathbf{e}} _y \sin (0.60 t+1.11) \;. \) Calcule a sua aceleração quando chega ao ponto \( \vec{\mathbf{r}} _1 \) passados \( t= 2 \;s, \) sabendo que parte do ponto inicial \( \vec{\mathbf{r}} _o. \) Escreva o resultado em coordenadas do referencial \( \left\{\vec{\mathbf{e}} _r,\vec{\mathbf{e}} _{\theta }\right\} \)\(\)

\(\)Considere um condutor que se desloca de automóvel na via pública em trajetória retilínea e a uma velocidade constante com módulo \( v_i= 50 \;km/h.\; \) Num dado instante o condutor avista um peão que decide atravessar uma passadeira localizada a uma distância inicial \( D_i= 30 \;m.\; \) O condutor consegue travar o veículo e parar mesmo antes de atingir a pessoa. Qual a aceleração do veículo durante a manobra de travagem para conseguir parar a viatura a uma distância do peão que pode considerar nula. \( \) \(\)Nota: deve tomar em consideração que o automóvel continua a deslocar-se com velocidade constante \(v_i \) durante o tempo de reação. Este tempo de reação, \( t_r \) , corresponde ao intervalo de tempo entre o instante em que o condutor avistou o peão e o instante em que reagiu e começou a travar. Considere \( t_r = 1 \;s.\; \)\(\)

\(\)Duas colunas estão ligadas a um mesmo amplificador emitindo um som com frequência \( f=50\;Hz. \) As colunas estão fixas a uma parede, alinhadas na direção horizontal e a uma altura do chão \( H=1.6\;m. \) A distância entre as colunas na parede é \( d=9\;m. \) Um técnico de som está situado a uma distância \( L\) \( \) das paredes mesmo em frente a uma das colunas, como está esquematicamente repreentado na figura acima. Os ouvidos estão à mesma altura das colunas. Considere que o técnico, por estar a proceder a testes antes de um concerto, tapa um dos ouvidos e a certas distâncias \( L \) deixa de ouvir som. Em todas estas situações o técnico está sempre em frente à mesma coluna e os únicos sons que ouve têm origem nas colunas e não há sons refletidos. \( \) Calcule a distância mínima à parede, \(L_{\min }\), a que o técnico deixa de ouvir o som produzido pelas colunas. Considere a velocidade do som no ar \( v_{som}=340\;m/s. \) Apresente o resultado com três algarismos significativos. \( \)\(\)

\(\)Um anel e um disco rodam sem deslizar ao longo de um plano inclinado. As massas do disco e do anel são iguais, e os seus raios também são iguais. \( \) \(\)Pretende-se saber qual chega primeiro ao fim do plano inclinado. \( \) \(\)Escolha a resposta certa entre as seguintes alternativas: \( \)\(\)

\(\)Um anel rola sem deslizar por um plano inclinado como representado na figura. O plano inclinado tem um comprimento \( L= 180 \;cm \) e faz um ângulo \( \beta = 35 \;{}^{\circ}. \) A massa do anel é \( M= 200 \;g \) e o raio do anel é \( R= 25 \;cm. \) \(\) O anel é largado com velocidade incial nula de um ponto \(A\) na extremidade superior do plano inclinado. \( \) \(\)Alínea a: Qual é a altura do ponto \(A\)? \( \) \(\)Alínea b: Qual é a aceleração linear \(a\) do anel ao longo do plano inclinado? \( \) \(\)Alínea c: Qual é o momento de inércia do anel em relação a um eixo de rotação que passa no seu centro e é perpendicular ao plano do anel? \( \) \(\)Alínea d: Quanto tempo demora o anel a chegar ao fim do plano inclinado? \( \)\(\)

\(\)Considere os vectores \( \vec{\mathbf{a}} = \vec{\mathbf{e}} _x-4 \vec{\mathbf{e}} _y \) e \( \vec{\mathbf{b}} = 5 \vec{\mathbf{e}} _x+3 \vec{\mathbf{e}} _y \) Calcule o produto interno \(c =\vec{\mathbf{a}} \cdot \vec{\mathbf{b}} \) e, a partir desse resultado, calcule o ângulo \(\theta \) entre os vectores \(\vec{\mathbf{a}} \) e \(\vec{\mathbf{b}} \). Escolha a resposta correta que corresponde ao valor para o ângulo \(\theta \) ou em graus ou em radianos. \( \)\(\)

\(\)A figura representa uma esfera de raio \( r, \) volume \( \text{V} \) e superfície \( S. \) No seu centro está desenhado um círculo \( \textit{C}, \) também de raio \( \text{r} \) e com uma circunferência de perímetro \( P. \) Nota: o número \( \pi =3,\! 14159\ldots \) é uma proporção que representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. \(\) Escolha só uma das opções. \(\) \( \) Qual a área do círculo circunscrito por essa circunferência? \( \)\(\)

\(\)A figura representa uma esfera de raio \( r, \) volume \( \text{V} \) e superfície \( S. \) No seu centro está desenhado um círculo \( \textit{C}, \) também de raio \( \text{r} \) e com uma circunferência de perímetro \( P. \) Nota: o número \( \pi =3,\! 14159\ldots \) é uma proporção que representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. \(\) Escolha só uma das opções. \(\) \( \) Qual é a área da superfície da esfera? \( \)\(\)

\(\)O atleta representado na figura segura a vara na horizontal \( \) colocando a mão esquerda numa extremidade da vara e a mão direita a uma distância \( d_C = 0.7 \;m \) da mão esquerda. \( \) A vara tem de comprimento \( L= 3.5 \;m \) e pesa \( P= 29.4 \;N.\; \) Considere que a vara tem densidade uniforme. \( \) Calcule o módulo da força \( F_C \;. \) Dê a resposta com duas casas decimais. \( \)\(\)

\(\)Qual a relação entre o módulo da força que o atleta exerce com a mão direita na vara para cima e o módulo da força que o atleta exerce com a mão esquerda para baixo, \( F_c/F_B \;? \) Dê a resposta com duas casas decimais. \( \)\(\)

\(\)Um atleta segura uma vara na horizontal. Para o conseguir, o atleta segura a vara com as duas mãos afastadas. A mão direita exerce uma força perpendicular à vara e para cima, de módulo \( F_c \;. \) Com a mão esquerda o atleta exerce uma força perpendicular à vara mas de sentido para baixo e de módulo \( F_B \;.\; \) A mão esquerda está colocada numa extremidade da vara. A mão direita segura a vara a uma distância \( d_C = 0.6 \;m \) da mão esquerda. \( \) A vara tem de comprimento \( L= 3. \;m \) e pesa \( P= 29.4 \;N.\; \) Considere que a vara tem densidade uniforme. \( \) Calcule o módulo da força \( F_C \;. \) Dê a resposta com duas casas decimais. \( \)\(\)

Considere uma força de atrito que actua sobre um objecto que se encontra em repouso sobre uma superfície tal que \( \vec{\mathbf{F}} _a=\mu \vec{\mathbf{N}} , \) onde \( \mu \) é o coeficiente de atrito e \( \vec{\mathbf{N}} \) a reacção normal ao chão. Quais as unidades S.I. do coeficiente de atrito? \( \)\(\)

Considere agora que o objecto se desloca a uma velocidade \( \text{v} \) muito elevada. Neste caso o módulo da força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade tal que \( \left\|\vec{\mathbf{F}} _a\right\|=b v^2, \) onde \( \text{b} \) é o coeficiente de atrito. Quais as unidades S.I. do coeficiente de atrito? \( \)\(\)

\(\)Uma bala com velocidade \( \vec{\mathbf{v}} _o= v_o \;\vec{\mathbf{e}} _x \) e massa \(m\) atinge um cubo de massa \(m\_c\) que está em repouso e ligado a uma haste de comprimento \(ℓ \) e massa \( m_h \) como indicado na figura. \(\)Depois da colisão a bala fica encrustada no cubo, e o conjunto roda em torno do eixo vertical ligado à haste com velocidade angular \( \vec{\mathbf{\omega }} = 27.90 \;\vec{\mathbf{e}} _z. \) Considere que as dimensões do bloco são desprezáveis quando comparadas com \(ℓ \). \( \) Para os cálculos seguintes considere \( m_c= 0.50 \;kg, \) \( m_b= 0.04 \;kg, \) \( m_h= 0.10 \;kg, \) \( ℓ = 0.50 \;m \) e \( v_o= 200 \;m/s. \) \(\)Alínea a: Determine o momento de inércia do Cubo+Bala+Haste em relação ao eixo de rotação. \( \) \(\)Alínea b: Determine a velocidade angular de rotação \( \vec{\mathbf{\omega }} \) do conjunto depois da colisão. \( \) \(\)Alínea c: Qual é a energia dissipada na colisão? \( \) \(\)Alínea d: Se o plano onde o cubo desliza tiver um coeficiente de atrito cinético \( \mu _c= 9 \) quantas voltas é que o cubo dá em torno do eixo vertical até parar? \( \)\(\)

\(\)Uma bolinha de gelo oscila no fundo de uma taça, sem atrito e sem rotação. \( m_b= 7 \;g. \) A forma da taça é esférica e de raio \( r_{taça}= 7 \;cm. \) Dê a resposta com duas casas decimais. Apresente os cálculos nas folhas que submete. \( \)\(\)

\(\) Os cabos de um elevador suportam, sem partir, uma força máxima de \( F_{\max }=1000\;kgf. \) Qual o número máximo de pessoas que o elevador pode transportar se arrancar e travar com uma aceleração 10 vezes inferior à da gravidade? Considere \( g=9.8\;m\left/s^2\right. \) e que o peso típico de uma pessoa é \( P =75\;kgf. \) Menospreze o peso da cabine do elevador. \( \) \(\)

\(\)Uma viatura descreve uma trajetória circular de raio \( R= 50 \;m \) num plano horizontal. A viatura pesa \( P= 9000 \;N. \) Nas 4 rodas atua uma força de atrito total \(\vec{\mathbf{F_a}} \) que depende do coeficiente de atrito estático entre as rodas e o asfalto, \(\mu _e \) (ver figura). \( \) O valor máximo para o coeficiente de atrito estático é \( \mu _{e,\max }= 0.6 \;. \) Calcule o valor máximo possível da velocidade para o carro conseguir descrever essa curva sem derrapar. \( \) Apresente o resultado em unidades \(km/h \) e com duas casas decimais. \( \)\(\)

\(\)Um dono de um celeiro vê um atleta que, segurando uma vara na posição horizontal, corre com uma velocidade \( v = 0.7\;c \) em direção ao seu celeiro. O dono do celeiro sabe que o celeiro tem \( 10\;m \) de comprimento e tem ainda duas portas opostas - uma de entrada e uma de saída. No celeiro funciona um controlo remoto que permite abrir ou fechar as duas portas simultaneamente. Sabendo que para o atleta o comprimento da sua vara é de \( 15\;m \) calcule o comprimento da vara no referencial do dono do celeiro. Apresente o resultado arredondado às unidades. \( \)\(\)

\(\)Um dono de um celeiro vê um atleta que, segurando uma vara na posição horizontal, corre com uma velocidade \( v = 0.75\;c \) em direção ao seu celeiro. O dono do celeiro sabe que o celeiro tem \( 25\;m \) de comprimento e tem ainda duas portas opostas - uma de entrada e uma de saída. No celeiro funciona um controlo remoto que permite abrir ou fechar as duas portas simultaneamente. Sabendo que para o atelta o comprimento da sua vara é de \( 30\;m, \) calcule o comprimento do celeiro no referencial do atleta e apresente o resultado com 2 algarismos significativos. \( \)\(\)

\(\)Um dono de um celeiro vê um atleta que, segurando uma vara na posição horizontal, corre com uma velocidade \( v = 0.65\;c \) em direção ao seu celeiro. O dono do celeiro sabe que o celeiro tem \( 25\;m \) de comprimento e tem ainda duas portas opostas - uma de entrada e uma de saída. No celeiro funciona um controlo remoto que permite abrir ou fechar as duas portas simultaneamente. Sabendo que para o atleta o comprimento da sua vara é de \( 30\;m, \) acha que o dono do celeiro conseguirá acionar o controlo remoto e fechar e abrir logo as duas portas tendo tido momentaneamente o atleta com a vara dentro do celeiro sem tocar em nenhuma das portas? \( \)\(\)