\(\)Numa experiência de acelerador é observada numa colisão a presença de uma partícula instável cuja trajectória (invisível) tem um comprimento \(d\). \( \) Após a reconstrução das trajectórias de todas as outras partículas (visíveis) envolvidas verificou-se que essa partícula tinha uma energia \(ℰ\) \( \) e um momento linear de magnitude \(p\) . \( \) Escolha a expressão correta para a velocidade \(v\) da partícula. \( \)\(\)

\(\)Usando os dados do problema anterior, quais das expressões seguintes exprime corretamente a massa da partícula invisível? \( \) \(\)Note que mais do que uma pode estar certa e cada escolha errada será penalizada. \( \)\(\)

\(\)Ainda no contexto do problema anterior, use o valor \( ℰ= 44 \;GeV \) para a energia da partícula , \( p= 32 \;GeV/c \) para o seu momento linear e \( d= 4 \;mm \) para a distância percorrida pela partícula invisível. Determine o tempo de vida \(\tau \) da partícula no seu referencial próprio. \(\) Dê o resultado em pico-segundos = \(10^{-12}s\) com 4 dígitos significativos. \( \)\(\)

\(\)No ponto de interacção IP5 no LHC, onde se encontra a experiência CMS, dois feixes de protões, de energia \(6.5\; TeV\) cada, colidem segundo um ângulo \( \theta = 400 \;\mu rad \) durante um período de tomada dados. Determine a magnitude do momento linear de cada um dos protões no referencial do centro de momento. \( \) \(\)Considere a massa do protão \( m_p= 938 \;MeV\left/c^2.\right. \) Dê o resultado com 5 algarismos significativos em unidades \( \;MeV/c. \)\(\)

\(\)Explique porque é que \( \int _0^t\tau ^2{d} \tau = \frac{t^3}{3} \;. \)\(\)

\(\)Um feixe de muões, \( \mu \) , em raios cósmicos, move-se à velocidade de \( v=0.993\;c. \) Qual é a percentagem de muões que sobrevive após um percurso de \( 1910\;m? \) Assuma um tempo de meia-vida de \( T_{1/2}=1.53\;\times 10^{-6}s \) no referencial próprio. Apresente o resultado com 4 algarismos significativos. \( \)\(\)

\(\)Neste problema pretende-se analisar como é que uma fibra ótica consegue transportar luz. Uma fibra ótica pode ser idealizada como um cilindro de material com índice de refracção \( n_f=1.5 \) coberto com uma capa, também cilíndrica, com índice de refração \( n_c\;. \) Considere um raio de luz incidente na parte central da fibra ótica a partir do ar. O ar tem índice de refração \( n_a=1\;, \) e o ângulo de incidência \( \theta _A=20\;{}^{\circ} \) é medido relativamente à normal à face plana do cilindro (ver figura). \( \) Qual o ângulo de refração \( \theta _B= \) com que o raio de luz entra no material, ângulo medido relativamente à normal à superfície de separação ar/cilindro? Apresente o resultado em graus. Nota: a magnitude dos ângulos apresentados é arbitrária. \( \)\(\)

Assuma agora que a luz atinge a superfície da fronteira entre \( n_f \) e \( n_c \) fazendo um ângulo de \(50{}^{\circ}\) com a normal a esta superfície. \( \) Por forma a que haja reflexão total na interface cilindro central-capa qual das opções deverá acontecer? \( \)\(\)

Nas condições da alínea anterior, e assumindo que o ângulo de incidência é de \( \theta _C=63\;{}^{\circ} \) calcule o valor limite de \( n_c \) para que ocorra reflexão total no interface cilindro-capa. \( \)\(\)

Se a luz entrar no material do cilindro central com um ângulo \( \theta _B=27\;{}^{\circ}, \) calcule qual o ângulo \( \theta _C \) com que a luz incide na fronteira entre o material com índice de refração \( n_f \) e o material da cobertura com índice de refração \( n_c\;. \) Considere o ângulo \(\theta _C \) medido em relação à normal ao plano de separação entre esses dois meios. \( \)\(\)

\(\) Usando a Lei de Gauss, determine o fluxo \( \Phi \) do campo \( \vec{\mathbf{E}} \) através de uma superfície hemisférica de raio \( a = 8\; cm\), quando campo é uniforme, com magnitude \(|\vec{\mathbf{E}} | = 4\; mV\;m^{-1}\), e faz um ângulo \(\alpha = 9\; {}^{\circ}\) com o eixo do hemisfério, no sentido pólo-equador. \(\)

\(\)A força exercida sobre uma carga \( q = \frac{1}{2} \;C \) que se desloca com velocidade \( \vec{\mathbf{v}} = 2 \left(\vec{\mathbf{e}} _x-\vec{\mathbf{e}} _y-\vec{\mathbf{e}} _z\right) \;m/s\; \) num campo magnético \( \vec{\mathbf{B}} = -3 \vec{\mathbf{e}} _z \;T\;(Tesla) \) designa-se Força de Lorentz \( \vec{\mathbf{F}} =q \vec{\mathbf{v}} \times \vec{\mathbf{B}} . \) \(\)Selecione qual das seguintes opções corresponde à resposta correta para \( \vec{\mathbf{F}} \;. \)\(\)

\(\)Compare o valor da força gravítica que atua num astronauta à superfície da Terra com o valor da força gravítica sentida por esse mesmo astronauta quando se encontra numa nave numa órbita circular com \( 7100\;km \) de raio em torno da Terra. Considere que o astronauta tem massa \( 80\;kg \) e que o raio médio da Terra é de \( 6371\;km. \) Apresente o resultado com dois algarismos significativos. \( \)\(\)

\(\) Compare o valor da força gravítica que actua num astronauta à superfície da Terra com o valor da força gravítica que actua nesse astronauta quando se encontra numa nave numa órbita circular com \( 7000\;km \) de raio em torno da Terra. Considere que o astronauta tem massa \( 70\;kg \) e que o raio da Terra é de \( 6371\;km. \) \(\)

\(\)Uma corda é agitada numa extremidade \( x=0 \) com um frequência \( f=7\;Hz \) e uma amplitude \( A = 10\;cm. \) A onda que se forma propaga-se com uma velocidade \( v=20\;m/s. \) A densidade linear da corda é \( \mu =0.06\;kg/m. \) Determine a frequência angular ( \( \omega \) ) e apresente o resultado com 3 algarismos significativos. \( \)\(\)

\(\)Uma corda é agitada numa extremidade \( x=0 \) com um frequência \( f=8\;Hz \) e uma amplitude \( A = 12\;cm. \) A onda que se forma propaga-se com uma velocidade \( v=20\;m/s. \) A densidade linear da corda é \( \mu =0.07\;kg/m. \) Determine a frequência angular ( \( \omega \) ) e apresente o resultado com 3 algarismos significativos. \( \)\(\)

\(\)Um automóvel parte do repouso com aceleração \( a= 8 \;m\left/s^2\right.,\; \) continua em movimento uniforme durante algum tempo. Depois trava até à paragem completa, com uma desaceleração igual, em módulo, à inicial (ver figura). \(\) Sabemos que o tempo total de deslocamento é \( T= 31 \;s\; \) e a velocidade média de todo o percurso é \( \lt v\gt = 13 \;m/s. \) \(\) Determine a duração \( T_2 \;\; \) do movimento uniforme \( \;? \)\(\)

\(\)Na figura estão 3 corpos: um carrinho de massa \( M= 27 \;kg, \) em cima dele um bloco de massa \( m_1= 12 \;kg\;,\; \) ligado a este por um fio e uma roldana está pendurado verticalmente um segundo corpo de massa \( m_2= 2 \;kg.\; \) \(\) Despreze as massas do fio e da roldana bem como o atrito em todas as superfícies e use \( g= 9.8 \;m\left/s^2.\right. \) \(\) Aplica-se uma força horizontal sobre o carrinho (ver figura) com uma amplitude \( \left| \vec{\mathbf{F}} \right| = 264 \;N.\; \) \(\) Determine a aceleração adquirida pelo carrinho \( \text{M} \;? \) \( \)\(\)

\(\)Considere o sistema mecânico da figura, constituido por um prisma com massa \( M= 6 \;kg \) e ângulo \( \alpha = 40 \;{}^{\circ},\; \) sobre ele escorrega um corpo de massa \( m= 8 \;kg.\; \) Despreze o atrito em todas as superfícies e use \( g= 9.8 \;m\left/s^2.\right. \) \(\) Aplica-se sobre o prisma uma força horizontal de amplitude \( F= 9 \;N. \) \(\) Determine a aceleração adquirida pelo corpo m a escorregar sobre o prisma (em relação ao prisma) \( \;? \) \( \)\(\)

\(\)Considere o sistema mecânico da figura. O corpo \( M= 18 \;kg \) escorrega, sem atrito, sobre o plano horizontal. \(\) O corpo \( m= 8 \;kg\; \) é puxado por um fio que passa numa roldana fixa em M. Por acção dessa força pode escorregar em cima de M, com um coeficiente de atrito cinético \( \mu _k= 0.3 \;. \) Use \( F= 37 \;N. \) \(\) Determine a aceleração horizontal do corpo superior m em relação ao corpo inferior M (positiva para a esquerda) \( \;? \) \( \) \( \)\(\)