\(\) Usando a Lei de Gauss, determine o fluxo \( \Phi \) do campo \( \vec{\mathbf{E}} \) através de uma superfície hemisférica de raio \( a = 8\; cm\), quando campo é uniforme, com magnitude \(|\vec{\mathbf{E}} | = 4\; mV\;m^{-1}\), e faz um ângulo \(\alpha = 9\; {}^{\circ}\) com o eixo do hemisfério, no sentido pólo-equador. \(\)

\(\)Uma esfera condutora de raio \( R_o= 4 \;cm \) está centrada em \( x_o=0 \) e está ligada à terra. Uma segunda esfera condutora está centrada em \( x_1 = 15 \;\times R_o, \) tem raio \( R_1 = 4 \;\times R_o\; \) e contém uma carga \( Q_1 = -2 \;nC. \) Ambas as esferas estão fixas. Assumindo que a carga superficial em cada esfera é uniforme, e que se corta a ligação à terra da primeira esfera, determine a posição \( x_{eq} \) de equilíbrio de uma carga pontual \( q = 3 \;\times Q_1 \) na vizinhança das esferas isoladas. Dê a resposta em \( \;m. \)\(\)

\(\)Um condensador esférico tem armaduras concêntricas, de raios \( R_1 = 4 \;cm \) e \( R_2= 12 \;cm \) , ambas de de espessura desprezável, separadas por dois dielétricos de permitividades \( \varepsilon _1 = 3 \;\times \;\varepsilon _o \) e \( \varepsilon _2 = 6 \;\;\times \;\varepsilon _o \) que preenchem de forma simétrica a calote esférica entre as armaduras, como indicado na figura.\(\) \( \) Determine a capacidade total \(C\) deste condensador em \(nF\). \( \)\(\)

\(\)Considere duas cargas iguais \( q= -10 \;nC \) ,separadas de uma distância \( 2d= 4 \;cm. \) Determine a magnitude do campo elétrico \( \left| \vec{\mathbf{E}} \right| \) em \(V/m\), a uma distância \( s= 26. \;cm \) das cargas, no plano perpendicular à linha que as une e equidistante destas. \( \) \( \)\(\)

\(\)Uma esfera condutora de raio \( R_1= 7 \;cm \) está coberta por uma camada dielétrica de permitividade \( \varepsilon = 6 \;\;\times \;\varepsilon _o \) , desde a sua superfície até à distância \( R_2 = 14 \;cm \) do seu centro \(O\), como indicado na figura. \( \) \(\)Assumindo que o resto do espaço está vazio, calcule em \(nF\) a capacidade \(C\) do condensador formado por esta esfera e uma armadura esférica concêntrica, de raio infinito, ligada à Terra. \( \) \( \)\(\)

\(\)Um condensador cilíndrico de comprimento \( L = 39. \;cm \) tem armaduras concêntricas, de raios \( R_1 = 2 \;cm, \) \( R_2 = 11. \;cm \) e\(\) \( R_3 = 5 \;cm \) , como indicado na figura. O espaço entre as armaduras está preenchido com um dielétrico de permitividade \( \varepsilon = 1. \;\times \;\varepsilon _o \) e a armadura exterior está ligada à Terra. \( \) Qual é a capacidade \(C\) deste condensador em \(nF\)? \( \)\(\)

\(\)Um fio com a forma de um semicírculo de raio \( R = 7 \;cm \) , de espessura desprezável, é carregado com uma carga total de \( Q = 6 \;nC \) Assumindo que a carga está uniformemente distribuída ao longo do fio, determine a magnitude e direção do campo eléctrico \( \vec{\mathbf{E}} \) no centro \(O\) do semicírculo. \( \)\(\)

\(\)Um cabo cilíndrico de comprimento \( L = 4.1\times 10^2 \;m \) é formado por dois condutores coaxiais de condutividades diferentes \( \sigma _1 = 8.\times 10^7 \;\;Sm^{-1} \) e \(\) \( \sigma _2 = 1.\times 10^5 \;Sm^{-1}. \) O condutor interior é cilíndrico de raio \( R_1 = 7.\times 10^{-1} \;mm, \) e o exterior é uma coroa cilíndrica de raios \(R_1\) e \( R_2 = 1.7 \;mm, \) como indicado na figura. As extremidades do cabo são mantidas a uma tensão \( V = 7.75\times 10^2 \;\;V \) através de dois elétrodos em forma de disco. \( \) \(\)Determine a corrente \(I\) que percorre o cabo nestas condições. \( \)\(\)

\(\)Um condensador plano é constituído por três camadas dielétricas, de igual espessura, de condutividades \( \sigma _1 = 7.\times 10^{-3} \;Sm^{-1}, \) e \(\) \( \sigma _2= 6. \;Sm^{-1}, \) distribuídas, como indicado na figura, entre duas armaduras condutoras de área \( A = 24 \;cm^2, \) separadas duma distância \( L = 8 \;mm \) e mantidas a uma tensão \( V= 785 \;V. \) \(\)Determine a corrente \(I\) que atravessa o condensador. \( \)\(\)

\(\)Um anel de raio \( R= 6 \;cm, \) de espessura desprezável, encontra-se uniformemente eletrizado com uma carga de densidade \( \lambda = -900 \;nC/m. \) Determine o trabalho \(W_e\) realizado pelo campo eletrostático para levar uma carga \( q= 9 \;nC \) do centro do anel até ao infinito. Dê a resposta em \(\; mJ\). \( \)\(\)

\(\)Um condutor filiforme de comprimento \( L = 87 \;m \) e secção reta \( A = 46 \;cm^2 \) tem condutividade \( \sigma _c = 4 \;\;\times 10^6\;Sm^{-1}. \) As extremidades do condutor são mantidas a uma tensão \( V = 927 \;V \) Determine a potência \(P_d\) dissipada pelo condutor nestas condições. \( \)\(\)

\(\)Um condensador plano formado por armaduras condutoras de área \( S = 4 \;m^2 \) tem inicialmente uma separação \( d = 2 \;cm \) entre as armaduras, com uma tensão \( V = 22 \;V \) entre elas. \( \) \texttt{"}Assumindo que as dimensões lineares do plano são muito grandes comparadas com \(d\) ou \(d'\), determine o trabalho \(W_a\) que é necessário realizar para deslocar as armaduras para uma nova separação \( d' = 12 \;cm, \) mantendo-as sempre isoladas. \( \)\(\)

\(\)Uma bobina de raio \( R_2 = 13 \;cm \) e espessura desprezável, com \( N_2 = 800 \) espiras, está enrolada em torno de um solenóide de raio \( R_1 = 5 \;cm, \) com \( N_1 = 3 \;\times 10^3\; \) espiras. \( \) O solenóide tem comprimento \( l= 52 \;cm \) e um núcleo ferromagnético de permeabilidade relativa \( \mu _r = 4 \;\times 10^3\; \) e é percorrido por uma corrente \( I(t) = 3 \;\times \;t^2 A \) (no sentido indicado na figura quando positiva). \( \) Qual é a tensão \( V \) que é medida por um voltímetro entre as extremidadades \(A\) e \(B\) da bobina no instante \( t = 2 \;\;s\;? \)\(\)

\(\)Um toro ferromagnético, de permeabilidade relativa \( \mu _r = 1 \;\times 10^3, \) secção quadrada de lado \( h = 50 \;mm \) e raio exterior \( R = 40 \;cm, \) tem uma fenda com uma abertura angular de \( \theta = 5.40 \;{}^{\circ}.\; \) Um fio condutor enrolado à volta do toro formando \( N = 4000 \) espiras é percorrido por uma corrente \( I = 11 \;A, \) como indicado na figura. \( \) Despreze a dispersão de linhas de campo na fronteira do ferromagnete com o ar e assuma que o fluxo magnético é preservado no toro. \( \) Determine o coeficiente de auto-indução \(L\) do enrolamento e fracção da energia magnética \(\frac{\delta W_m^{ar}}{W_m}\) armazenada na fenda (ar). \( \)\(\)

\(\)Um ferromagnete com um núcleo quadrado de permeabilidade relativa \( \mu _r = 6 \;\times 10^3\; \) tem um lado com secção reta \( 2\times S = 14 \;cm^2 \) onde há um enrolamento de \( N_1 = 5000 \) espiras. \( \) Os restantes lados têm secção reta \( S \), um dos quais com um enrolamento de \( N_2 = 1000 \) espiras e outro exibindo uma fenda de espessura \( \delta = 9 \;mm, \) como indicado na figura. \( \) Considerando um percurso médio de comprimento \( d = 16 \;cm \) em cada braço do ferromagnete, e sabendo que os enrolamentos são percorridos por correntes \( I_1 = 4 \;A \) e \(\) \( I_2 = 15 \;A \) no sentido indicado na figura, determine o valor médio do campo magnético \(\vec{\mathbf{B}} \) na fenda (ar), assumindo que as linhas de campo magnético não se dispersam muito na transição do ferromagnete para o ar nessa região e que o fluxo magnético é preservado nos diferentes lados do núcleo. \( \)\(\)

\(\)Um cilindro condutor muito comprido, de raio \( R = 2.00 \;cm, \) tem duas cavidades cilíndricas de raio \( a = \frac{1}{2} R \) em todo o comprimento, com eixos paralelos, simétricamente colocados à distância \(a\) do eixo \(e\) do condutor, como representado na figura. \( \) \(\)Assumindo que uma corrente \( I = 37 \;\;A \) percorre o condutor no sentido \(\vec{\mathbf{e}} _z\) e está uniformemente distribuída pela secção reta do condutor,qual é a magnitude e direção do campo magnético no ponto indicado \( P \) à distância \( d = 8.00 \;cm \) do eixo do condutor ? \( \)\(\)

\(\)Um condensador cilíndrico muito comprido tem armaduras concêntricas, de raios \( R_1 = 4 \;cm, \) e \(\) \( R_2= 25 \;cm, \) ambas com espessura desprezável, separadas por dois dielétricos de permitividades \( \varepsilon _1 = 4 \;\times \;\varepsilon _o \) e \( \) \( \varepsilon _2 = 40 \;\times \;\varepsilon _o \) que preenchem de forma simétrica o espaço entre as armaduras, como indicado na figura.\(\)Determine a capacidade por unidade de comprimento \(c\) deste condensador em \(nF m^{-1}\). \( \)\(\)

\(\)Uma correia de transporte plástica fina, de largura \( L = 7 \;m, \) está uniformemente carregada com carga de densidade superficial \( \sigma = 1 \;\;C\;m^{-2} \) A correia está programada para transportar carga a uma velocidade \( \vec{\mathbf{v}} = 3 \;\vec{\mathbf{e}} _x\;\;\;m\;s^{-1}. \) Na parte inferior da correia e muito perto desta existe uma malha de fios retilíneos condutores paralelos, cada um com diâmetro \( d = 5 \;\times 10^{-1}\;\;mm \) e condutividade \( \sigma _c = 5 \;\times 10^5\;\;Sm^{-1}, \) alinhados com a direção \( \vec{\mathbf{v}} \) e uniformemente espaçados de forma a cobrir toda a largura da correia, sem intervalos. \( \) Que tensão por unidade de comprimento se deve aplicar nos fios para que o campo magnético seja nulo logo acima da superfície da correia ( a distâncias \(z\ll L\) ) e longe dos bordos? \( \) \( \)\(\)

\(\)Uma anilha condutora, de raios \( R_1 = 5 \;cm \) e \(\) \( R_2 = 17 \;cm, \) está imersa num campo magnético \( \vec{\mathbf{B}} = 47 \;\vec{\mathbf{e}} _z\;mT \) homogéneo, perpendicular à sua superfície. \( \) Quando a anilha é posta a rodar em torno do seu eixo vertical com velocidade angular \( \vec{\mathbf{\omega }} = 75 \;\times 10^3\;\;\vec{\mathbf{e}} _z\;\;\;r.p.m. \) qual é a diferença de potencial \( V \) que se estabelece ao fim de algum tempo entre as superfícies interior e exterior da anilha? \( \)\(\)

\(\)Uma anilha condutora de altura \( h = 80 \;mm \) é composta por dois condutores coaxiais de condutividades diferentes.Entre \( R_1 = 4 \;cm \) e \(\) \( R_2 = 7 \;cm \) a condutividade é \( \sigma _1 = 5 \;\times 10^4\;\;\;Sm^{-1}\;, \) e de \( R_2 \) a \( R_3 = 9 \;cm \) a condutividade é \( \sigma _2 = 2 \;\times 10^5\;\;Sm^{-1}\; \) As superfícies interna, de raio \(R_1\), e externa, de raio \(R_2\), desta anilha são mantidas por uma bateria a uma tensão \( V = 6 \;mV, \) através de dois elétrodos cilíndricos, como indicado na figura. \( \) \(\)Determine a corrente \(I\) que atravessa a anilha nestas condições. \( \)\(\)